容斥原理是2004、2005年中央國家公務(wù)員考試的一個(gè)難點(diǎn)，很多考生都覺得無從下手，其實(shí)，容斥原理關(guān)鍵就兩個(gè)公式：
1. 兩個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：A+B=A∪B+A∩B
2. 三個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C
請(qǐng)看例題：
【例題1】某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)是32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是( )
A.22 B.18 C.28 D.26
【解析】設(shè)A=第一次考試中及格的人數(shù)(26人),B=第二次考試中及格的人數(shù)(24人),顯然,A+B=26+24=50； A∪B=32-4=28，則根據(jù)A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。答案為A。
【例題2】電視臺(tái)向100人調(diào)查前一天收看電視的情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，11人兩個(gè)頻道都看過。問兩個(gè)頻道都沒看過的有多少人？
【解析】設(shè)A=看過2頻道的人(62)，B=看過8頻道的人(34)，顯然，A+B=62+34=96；
A∩B=兩個(gè)頻道都看過的人(11)，則根據(jù)公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85，所以，兩個(gè)頻道都沒看過的人數(shù)為100-85=15人。
二、作對(duì)或做錯(cuò)題問題
【例題】某次考試由30到判斷題，每作對(duì)一道題得4分，做錯(cuò)一題倒扣2分，小周共得96分，問他做錯(cuò)了多少道題？
A.12 B.4 C.2 D.5
【解析】
方法一
假設(shè)某人在做題時(shí)前面24道題都做對(duì)了,這時(shí)他應(yīng)該得到96分,后面還有6道題,如果讓這最后6道題的得分為0,即可滿足題意.這6道題的得分怎么才能為0分呢?根據(jù)規(guī)則,只要作對(duì)2道題,做錯(cuò)4道題即可,據(jù)此我們可知做錯(cuò)的題為4道,作對(duì)的題為26道.
方法二
作對(duì)一道可得4分,如果每作對(duì)反而扣2分,這一正一負(fù)差距就變成了6分.30道題全做對(duì)可得120分,而現(xiàn)在只得到96分,意味著差距為24分,用24÷6=4即可得到做錯(cuò)的題,所以可知選擇B
三、栽樹問題
核心要點(diǎn)提示：①總路線長②間距(棵距)長③棵數(shù)。只要知道三個(gè)要素中的任意兩個(gè)要素，就可以求出第三個(gè)。
【例題1】李大爺在馬路邊散步，路邊均勻的栽著一行樹，李大爺從第一棵數(shù)走到底15棵樹共用了7分鐘，李大爺又向前走了幾棵樹后就往回走，當(dāng)他回到第5棵樹是共用了30分鐘。李大爺步行到第幾棵數(shù)時(shí)就開始往回走？
A.第32棵 B.第32棵 C.第32棵 D.第32棵
解析：李大爺從第一棵數(shù)走到第15棵樹共用了7分鐘，也即走14個(gè)棵距用了7分鐘，所以走沒個(gè)棵距用0.5分鐘。當(dāng)他回到第5棵樹時(shí)，共用了30分鐘，計(jì)共走了30÷0.5=60個(gè)棵距，所以答案為B。第一棵到第33棵共32個(gè)棵距，第33可回到第5棵共28個(gè)棵距，32+28=60個(gè)棵距。
【例題2】為了把2008年北京奧運(yùn)會(huì)辦成綠色奧運(yùn)，全國各地都在加強(qiáng)環(huán)保，植樹造林。某單位計(jì)劃在通往兩個(gè)比賽場(chǎng)館的兩條路的(不相交)兩旁栽上樹，現(xiàn)運(yùn)回一批樹苗，已知一條路的長度是另一條路長度的兩倍還多6000米，若每隔4米栽一棵，則少2754棵；若每隔5米栽一棵，則多396棵，則共有樹苗：( ）
A.8500棵 B.12500棵 C.12596棵 D.13000棵
解析：設(shè)兩條路共有樹苗ⅹ棵，根據(jù)栽樹原理，路的總長度是不變的，所以可根據(jù)路程相等列出方程：(ⅹ+2754-4)×4=(ⅹ-396-4)×5(因?yàn)?條路共栽4排，所以要減4)
解得ⅹ=13000，即選擇D。
四、和差倍問題
核心要點(diǎn)提示：和、差、倍問題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和或差與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個(gè)數(shù)的值。(和+差)÷2=較大數(shù)；(和—差)÷2=較小數(shù)；較大數(shù)—差=較小數(shù)。
【例題】甲班和乙班共有圖書160本，甲班的圖書是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？
解析：設(shè)乙班的圖書本數(shù)為1份，則甲班和乙班圖書本書的合相當(dāng)于乙班圖書本數(shù)的4倍。乙班160÷（3+1)=40(本)，甲班40×3=120(本)。
