| 三十一，十字相乘法 十字相乘法使用時要注意幾點： 第一點：用來解決兩者之間的比例關系問題。 第二點：得出的比例關系是基數(shù)的比例關系。 第三點：總均值放中央，對角線上，大數(shù)減小數(shù)，結果放對角線上。 (2007年國考) 某班男生比女生人數(shù)多80%，一次考試后，全班平均成級為75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，則此班女生的平均分是： A .84 分 B . 85 分 C . 86 分 D . 87 分 答案：A 分析： 假設女生的平均成績?yōu)閄，男生的平均Y。男生與女生的比例是9：5。 男生：Y 9 75 女生：X 5 根據(jù)十字相乘法原理可以知道 X=84 6. (2007年國考).某高校2006 年度畢業(yè)學生7650 名，比上年度增長2 % . 其中本科畢業(yè)生比上年度減少2 % . 而研究生畢業(yè)數(shù)量比上年度增加10 % , 那么，這所高校今年畢業(yè)的本科生有： A .3920 人 B .4410 人 C .4900人 D .5490 人 答案：C 分析：去年畢業(yè)生一共7500人。7650/(1+2%)=7500人。 本科生：-2% 8% 2% 研究生：10% 4% 本科生：研究生=8%：4%=2：1。 7500*(2/3)=5000 5000*0.98=4900 此方法考試的時候一定要靈活運用
An=A(n-1)An(n-2) 已知一對幼兔能在一月內(nèi)長成一對成年兔子，一對成年兔子能在一月內(nèi)生出一對幼兔。如果現(xiàn)在給你一對幼兔，問一年后共有多少對兔子? 析：1月:1對幼兔 2月:1對成兔 3月;1對成兔.1對幼兔 4;2對成兔.1對幼兔 5;;3對成兔.2對幼兔 6;5對成兔.3對幼兔....... 可看出規(guī)律:1,1,2,3,5,8(第三數(shù)是前兩數(shù)之和),可求出第12項 為:13,21,34,55,89,144，答:有144只兔
例題：要用天平稱出1克、2克、3克……40克這些不同的整數(shù)克重量，至少要用多少個砝碼?這些砝碼的重量分別是多少? 分析與解：一般天平兩邊都可放砝碼，我們從最簡單的情形開始研究。 (1)稱重1克，只能用一個1克的砝碼，故1克的一個砝碼是必須的。 (2)稱重2克，有3種方案： ①增加一個1克的砝碼; ?、谟靡粋€2克的砝碼; ③用一個3克的砝碼，稱重時，把一個1克的砝碼放在稱重盤內(nèi)，把3克的砝碼放在砝碼盤內(nèi)。從數(shù)學角度看，就是利用3-1=2。 (3)稱重3克，用上面的②③兩個方案，不用再增加砝碼，因此方案①淘汰。 (4)稱重4克，用上面的方案③，不用再增加砝碼，因此方案②也被淘汰。總之，用1克、3克兩個砝碼就可以稱出(3+1)克以內(nèi)的任意整數(shù)克重。 (5)接著思索可以進行一次飛躍，稱重5克時可以利用 9-(3+1)=5，即用一個9克重的砝碼放在砝碼盤內(nèi)，1克、3克兩個砝碼放在稱重盤內(nèi)。這樣，可以依次稱到1+3+9=13(克)以內(nèi)的任意整數(shù)克重。 而要稱14克時，按上述規(guī)律增加一個砝碼，其重為 14+13=27(克)， 可以稱到1+3+9+27=40(克)以內(nèi)的任意整數(shù)克重。 總之，砝碼重量為1，3，32，33克時，所用砝碼最少，稱重最大，這也是本題的答案。
紅圈： 球賽。 藍圈： 電影 綠圈：戲劇。 X表示只喜歡球賽的人; Y表示只喜歡電影的人; Z表示只喜歡戲劇的人 a表示喜歡球賽和電影的人。僅此2項。不喜歡戲劇 b表示喜歡電影和戲劇的人。僅此2項。不喜歡球賽 c表示喜歡球賽和戲劇的人。僅此2項 不喜歡電影。 中間的陰影部分則表示三者都喜歡的。我們用 T表示。 回顧上面的7個部分。X，y，z，a，b，c，T 都是相互獨立?；ゲ恢貜偷牟糠?/p> 現(xiàn)在開始對這些部分規(guī)類。 X+y+z=是只喜歡一項的人 我們叫做 A a+b+c=是只喜歡2項的人 我們叫做B T 就是我們所說的三項都喜歡的人 x+a+c+T=是喜歡球賽的人數(shù) 構成一個紅圈 y+a+b+T=是喜歡電影的人數(shù) 構成一個藍圈 z+b+c+T=是喜歡戲劇的人數(shù) 構成一個綠圈 三個公式。 (1) A+B+T=總人數(shù) (2) A+2B+3T=至少喜歡1個的人數(shù)和 (3) B+3T=至少喜歡2個的人數(shù)和 例題：學校教導處對100名同學進行調(diào)查，結果有58人喜歡看球賽，有38人喜歡看戲劇，有52人喜歡看電影。另外還知道，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇(但不喜歡看電影)的有6人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇(但不喜歡看球賽)的有4人，三種都喜歡的有12人。 通過這個題目我們看 因為每個人都至少喜歡三項中的一項。則我們用三個圈紅，綠，藍代表球賽。戲劇、和電影。 A+B+T=100 A+2B+3T=148 T=12 則可以直接計算只喜歡一項的和只喜歡兩項的 A=64 B=24 典型例題：甲,乙,丙三個人共解出20道數(shù)學題,每人都解出了其中的12道題,每道題都有人解出.只有一人解出的題叫做難題, 只有兩人解出的題叫做中等題,三人解出的題叫做容易題,難題比容易題多( )題? A、6 B、5 C、4 D、3 【解析】第三題需要結合文氏圖來理解了，畫圖會很清楚的 我們設a表示簡單題目， b表示中檔題目 c表示難題 a+b+c=20 c+2b+3a=12×3 這個式子式文氏圖中必須要記住和理解的 將a+b+c=20變成 2a+2b+2c=40 減去 上面的第2個式子 得到： c-a=4 答案出來了 可能很多人都說這個方法太耗時了，的確。在開始使用這樣方法的時候費時不少。當當完全了解熟練運用a+2b+3c這個公式時，你會發(fā)現(xiàn)再難的題目也不會超過1分鐘。三十四，九宮圖問題 此公式只限于奇數(shù)行列 步驟1：按照斜線的順序把數(shù)字按照從小到大的順序，依次斜線填寫! 步驟2： 然后將3×3格以外格子的數(shù)字折翻過來， 最左邊的放到最右邊，最右邊的放到最左邊 最上邊的放到最下邊，最下邊的放到最上邊 這樣你再看中間3×3格子的數(shù)字是否已經(jīng)滿足題目的要求了
行程問題一直是國家考試中比較重要的一環(huán)，其應用之廣恐無及其右者。行程問題的計算量按照基礎做法不得不說非常大。所以掌握簡單的方法尤為重要。當然簡單的方法需要對題目的基礎知識的全面了掌握和理解。 在細說之前我們先來了解如下幾個關系： 路程為S。速度為V 時間為T S=VT V=S/T T=S/V S相同的情況下： V跟T成反比 V相同的情況下： S跟T成正比 T相同的情況下： S跟V成正比 注：比例點數(shù)差也是實際差值對應的比例! 理解基本概念后，具體題目來分析 例一、甲乙2人分別從相距200千米的AB兩地開車同時往對方的方向行駛。到達對方始發(fā)點后返回行駛，按照這樣的情況，2人第4次相遇時甲比乙多行了280千米 已知甲的速度為60千米每小時。則乙的速度為多少? 分析：這個題目算是一個相遇問題的入門級的題目。我們先從基礎的方法入手，要多給自己提問 求乙的速度 即要知道乙的行駛路程S乙，乙所花的時間T乙。這2個變量都沒有告訴我們，需要我們?nèi)ジ鶕?jù)條件來求出： 乙的行駛路程非常簡單可以求出來。因為甲乙共經(jīng)過4次相遇。希望大家不要嫌我羅嗦。我希望能夠更透徹的把這類型的題目通過圖形更清晰的展現(xiàn)給大家。 第一次相遇情況 A(甲).。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(甲)C(乙)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。B(乙) AC即為第一次相遇 甲行駛的路程。 BC即為乙行駛的路程 則看出 AC+BC=AB 兩者行駛路程之和=S 第2次相遇的情況 A.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(乙)D(甲)。。。。。。C。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。B 在這個圖形中，我們從第一次相遇到第2次相遇來看甲從C點開始行駛的路線是C-B-D，其路程是 BC+BD 乙行駛的路線則是C-A-D 其行駛的路程是AC+AD 可以看出第2次相遇兩者的行駛路程之和是BC+BD+AC+AD=(BC+AC)+(BD+AD)=2S ，同理第3，4次相遇都是這樣。 則我們發(fā)現(xiàn) 整個過程中，除第一次相遇是一個S外。其余3次相遇都是2S?？偮烦淌?×3S+S=7S 根據(jù)題目，我們得到了行駛路程之和為7×200=1400 因為甲比乙多行駛了280千米 則可以得到 乙是(1400-280)÷2=560 則甲是560+280=840 好，現(xiàn)在就剩下乙的行駛時間的問題了。因為兩個人的行駛時間相同則通過計算甲的時間得到乙的時間 即 840÷60=14小時。 所以T乙=14小時。 那么我就可以求出乙的速度V乙=S乙÷T乙=560÷14=40 說道這里我需要強調(diào)的是，在行程問題中，可以通過比例來迅速解答題目。 比例求解法： 我們假設乙的速度是V 則根據(jù)時間相同，路程比等于速度比， S甲：S乙=V甲：V乙 衍生出如下比例：(S甲+S乙)：(S甲-S乙)=(V甲+V乙)：(V甲-V乙) 得出 1400：280=(60+V)：(60-V)解得 V=40 例二、甲車以每小時160千米的速度，乙車以每小時20千米的速度，在長為210千米的環(huán)形公路上同時、同地、同向出發(fā)。每當甲車追上乙車一次，甲車減速1/3 ，而乙車則增速1/3 。問：在兩車的速度剛好相等的時刻，它們共行駛了多少千米? A. 1250 B. 940 C. 760 D. 1310 【解析】 我們先來看 需要多少次相遇才能速度相等 160×(2/3)的N次方=20×(4/3)的N次方 N代表了次數(shù) 解得N=3 說明第三次相遇即達到速度相等 第一次相遇前： 開始時速度是160：20=8：1 用時都一樣，則路程之比=速度之比 我們設乙行駛了a千米 則 (a+210 ) ： a = 8：1 解得 a=30 第二次相遇前： 速度比是 甲：乙=4：1 用時都一樣， 則路程之比=速度之比 我們設乙從第1次相遇到第2次相遇行駛了b千米 則 (b+210 ) ： b = 4：1 解得 a=70 第三次相遇前：速度比是 甲：乙=2：1 用時都一樣， 則路程之比=速度之比 我們設乙從第2次相遇到第3次相遇行駛了c千米 則 (c+210 ) ： c = 2：1 解得 c=210 則三次乙行駛了 210+70+30=310千米 而甲比乙多出3圈 則甲是 210×3+310=940 則 兩人總和是 940+310=1250 例三、一輛汽車以每小時40千米的速度從甲城開往乙城，返回時它用原速度走了全程的4分之3多5米，再改用每小時30千米的速度走完余下的路程，因此，返回甲城的時間比前往乙城的時間多用了10分鐘，甲、乙兩城相距多遠? 【解析】我們知道多出來的10分鐘即1/6小時是在最后1/4差5千米的路程里產(chǎn)生的 ，則根據(jù)路程相同 速度比等于時間比的反比 即 T30：T40=40：30=4：3 所以30千米行駛的最后部分是用了 1/6×(4-3)×4=2/3小時 即路程是30×2/3=20千米 總路程是(20+5)÷1/4=100 例四、甲乙兩人各坐一游艇在湖中劃行,甲搖漿10次時乙搖漿8次,而乙搖漿70次,所走的路程等于甲搖漿90次所走的路程,現(xiàn)甲先搖漿4次,則乙搖漿多少次才能追上? A. 14 B.16 C.112 D.124 【解析】 甲搖漿10次時乙搖漿8次 知道甲乙速度之比=5：4 而乙搖漿70次,所走的路程等于甲搖漿90次所走的路程 則可以得到每漿得距離之比是甲：乙=7：9 所以，我們來看 相同時間內(nèi)甲乙得距離之比，5×7：4×9=35：36 說明，乙比甲多出1個比例單位 現(xiàn)在甲先劃槳4次， 每漿距離是7個單位，乙每漿就是9個單位， 所以甲領先乙是4×7=28個單位 ，事實上乙每4漿才能追上36-35=1個單位， 說明28個單位需要28×4=112漿次追上! 選C 例五、甲乙兩個工程隊共100人,如果抽調(diào)甲隊人的1/4至乙隊,則乙隊比甲隊多了2/9,問甲隊原來多少人? 這個題目其實也很簡單，下面我說一個簡單方法 【解析】 根據(jù)條件乙隊比甲隊多了2/9 我們假設甲隊是單位1，則乙隊就是1+2/9=11/9 ，100人的總數(shù)不變 可見 甲乙總數(shù)是1+11/9=20/9 (分母不看) 則100人被分成20分 即甲是100÷20×9=45 乙是 55 因為從甲隊掉走1/4 則剩下的是3/4 算出原來甲隊是 45÷3/4=60
例題：某次考試有30道判斷題，每做對一道題得4分，不做的不得分，做錯一道題倒扣2分 小明得分是96分，并且小明有題目沒做，則小明答對了幾道試題() A 28 B 27 C 26 D25 正確答案是 D 25題 我們把一個答錯的和一個不答的題目看成一組，則一組題目被扣分是6+4=10 解釋一下6跟4的來源 6是做錯了不但得不到4分還被扣除2分 這樣里外就差4+2=6分 4是不答題 只被扣4分，不倒扣分。 這兩種扣分的情況看著一組 目前被扣了30×4-96=24分 則說明 24÷10=2組 余數(shù)是4 余數(shù)是4 表明2組還多出1個沒有答的題目 則表明 不答的題目是2+1=3題，答錯的是2題
票價是P( 2，M) 是排列 票值是C(2，M)
1217到2792之間有多少個位數(shù)和十位數(shù)相同的數(shù)? 從第一個滿足條件的數(shù)開始每個滿足條件的數(shù)之間都是相差11 方法一： 看整數(shù)部分1217～2792 先看1220～2790 相差1570 則有這樣規(guī)律的數(shù)是1570÷10=157個 由于這樣的關系 我總結了一個方法 給大家提供一個全新的思路 方法二： 我們先求兩數(shù)差值 2792-1217=1575 1575中有多少11呢 1575÷11=143 余數(shù)是2 大家不要以為到這里就結束了 其實還沒有結束 我們還得對結果再次除以11 直到所得的商小于11為止 商+余數(shù)再除以11 (143+2)÷11=13 余數(shù)是2 (13+2)÷11=1 因為商已經(jīng)小于11，所以余數(shù)不管 則我們就可以得到個數(shù)應該是143+13+1=157 不過這樣的方法不是絕對精確的，考慮到起始數(shù)字和末尾數(shù)字的關系。 誤差應該會在1之間!不過對于考公務員來說 誤差為1 已經(jīng)可以找到答案了! 某個班的同學體育課上玩游戲，大家圍成一個圈，每個人都不能跟相鄰的2個人握手，整個游戲一共握手152次， 請問這個班的同學有( )人 A、16 B、17 C、18 D、19 【解析】此題看上去是一個排列組合題，但是卻是使用的對角線的原理在解決此題。按照排列組合假設總數(shù)為X人 則Cx取3=152 但是在計算X時卻是相當?shù)穆闊?我們仔細來分析該題目。以某個人為研究對象。則這個人需要握x-3次手。每個人都是這樣。則總共握了x×(x-3)次手。但是沒2個人之間的握手都重復計算了1次。則實際握手次數(shù)是x×(x-3)÷2=152 計算的x=19人 設兩個溶液的濃度分別為A%，B%并且 A>B 設需要交換溶液為X 則有：(B-X)：X=X：(A-X) A：B=(A-X)：X 典型例題：兩瓶濃度不同得鹽水混合液。60%的溶液是40克，40%的溶液是60克。要使得兩個瓶子的溶液濃度相同，則需要相互交換( )克的溶液? A、36 B、32 C、28 D、24 【解析】答案選D 我們從兩個角度分析一下，假設需要交換的溶液為a克。則我們來一個一個研究，先看60%的溶液 相對于交換過來的a克40%的溶液 可以采用十字交叉法來得出一個等式 即(再設混和后的標準濃度是p) 40-a ：a=(P-40% ) ：(60%-P) 同理我們對40%的溶液進行研究 采用上述方法 也能得到一個等式： 60-a ：a=(60%-P) ：(P-40%) 一目了然，兩者實際上是反比，即40-a ：a=a ：60-a 解得 a=24 即選D 如果你對十字交叉法的原理理解的話 那么這個題目中間的過程完全可以省去。所以說任何捷徑都是建立在你對基礎知識的把握上。 解法二： 干脆把2個溶液倒在一起混和，然后再分開裝到2個瓶子里 這樣濃度也是相等的。我們根據(jù)十字交叉法 ，60跟40的溶液混合比例 其實跟交換的x克60%溶液與剩下60-x克40%的溶液比例成反比，則60：40=60-x：x解 X=24克 |
