雞兔同籠中的總頭數(shù)是“兩數(shù)之和”，如果把條件換成“兩數(shù)之差”，又應該怎樣去解呢?

　　例1 買一些4分和8分的郵票，共花6元8角。已知8分的郵票比4分的郵票多40張，那么兩種郵票各買了多少張?

　　解一：如果拿出40張8分的郵票，余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就一樣多。

　　(680-8×40)÷(8+4)=30(張)，這就知道，余下的郵票中，8分和4分的各有30張。

　　因此8分郵票有40+30=70(張)。

　　答：買了8分的郵票70張，4分的郵票30張。

　　也可以用任意假設一個數(shù)的辦法。

　　解二：譬如，假設有20張4分，根據(jù)條件“8分比4分多40張”，那么應有60張8分。以“分”作為計算單位，此時郵票總值是4×20+8×60=560。比680少，因此還要增加郵票。為了保持“差”是40，每增加1張4分，就要增加1張8分，每種要增加的張數(shù)是：

　　(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(張)。

　　因此4分有20+10=30(張)，8分有60+10=70(張)。

　　例2 一項工程，如果全是晴天，15天可以完成。倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成?

　　解：類似于例3，我們設工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份。用上一例題解一的方法，晴天有

　　(150-8×3)÷(10+8)= 7(天)。

　　雨天是7+3=10天，總共7+10=17(天)。

　　答：這項工程17天完成。

　　請注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而換成已知工程是17天完成，由此又回到上一節(jié)的問題。差是3，與和是17，知道其一，就能推算出另一個。這說明了例7、例8與上一節(jié)基本問題之間的關系。

　　總腳數(shù)是“兩數(shù)之和”，如果把條件換成“兩數(shù)之差”，又應該怎樣去解呢?

　　例3 雞與兔共100只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28。問雞與兔各幾只?

　　解一：假如再補上28只雞腳，也就是再有雞28÷2=14(只)，雞與兔腳數(shù)就相等，兔的腳是雞的腳4÷2=2(倍)，于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍。

　　兔的只數(shù)是：(100+28÷2)÷(2+1)=38(只)。

　　雞是：100-38=62(只)。

　　答：雞62只，兔38只。

　　當然也可以去掉兔28÷4=7(只)。兔的只數(shù)是(100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只)。

　　也可以用任意假設一個數(shù)的辦法。

　　解二：假設有50只雞，就有兔100-50=50(只)。此時腳數(shù)之差是：

　　4×50-2×50=100，

　　比28多了71、就說明假設的兔數(shù)多了(雞數(shù)少了)。為了保持總數(shù)是100，一只兔換成一只雞，少了4只兔腳，多了2只雞腳，相差為6只(千萬注意，不是2)。因此要減少的兔數(shù)是：

　　(100-28)÷(4+2)=12(只)。

　　兔只數(shù)是：

　　50-12=38(只)。

　　另外，還存在下面這樣的問題：總頭數(shù)換成“兩數(shù)之差”，總腳數(shù)也換成“兩數(shù)之差”。

　　例4 古詩中，五言絕句是四句詩，每句都是五個字；七言絕句是四句詩，每句都是七個字。有一詩選集，其中五言絕句比七言絕句多13首，總字數(shù)卻反而少了20個字。問兩種詩各多少首。

　　解一：如果去掉13首五言絕句，兩種詩首數(shù)就相等，此時字數(shù)相差

　　13×5×4+20=280(字)。

　　每首字數(shù)相差：7×4-5×4=8(字)。

　　因此，七言絕句有：28÷(28-20)=35(首)。

　　五言絕句有：35+13=48(首)。

　　答：五言絕句48首，七言絕句35首。

　　解二：假設五言絕句是23首，那么根據(jù)相差13首，七言絕句是10首。字數(shù)分別是20×23=460(字)，28×10=280(字)，五言絕句的字數(shù)，反而多了：460-280=180(字)。與題目中“少20字”相差：180+20=200(字)。

　　說明假設詩的首數(shù)少了。為了保持相差13首，增加一首五言絕句，也要增一首七言絕句，而字數(shù)相差增加8。因此五言絕句的首數(shù)要比假設增加

　　200÷8=25(首)。

　　五言絕句有

　　23+25=48(首)。

　　七言絕句有

　　10+25=35(首)。

　　在寫出“雞兔同籠”公式的時候，我們假設都是兔，或者都是雞，對于例1、例3和例4三個問題，當然也可以這樣假設?，F(xiàn)在來具體做一下，把列出的計算式子與“雞兔同籠”公式對照一下，就會發(fā)現(xiàn)非常有趣的事。

　　例1，假設都是8分郵票，4分郵票張數(shù)是(680-8×40)÷(8+4)=30(張)。

　　例3，假設都是兔，雞的只數(shù)是(100×4-28)÷(4+2)=62(只)。

　　例4，假設都是五言絕句，七言絕句的首數(shù)是(20×13+20)÷(28-20)=35(首)。

　　首先，請讀者先弄明白上面三個算式的由來，然后與“雞兔同籠”公式比較，這三個算式只是有一處“-”成了“+”。其奧妙何在呢?當你進入初中，有了負數(shù)的概念，并會列二元一次方程組，就會明白，從數(shù)學上說，這一講前兩節(jié)列舉的所有例子都是同一件事。

　　例5

　　有一輛貨車運輸2000只玻璃瓶，運費按到達時完好的瓶子數(shù)目計算，每只2角，如有破損，破損瓶子不給運費，還要每只賠償1元。結果得到運費379。6元，問這次搬運中玻璃瓶破損了幾只?

　　解：如果沒有破損，運費應是400元。但破損一只要減少1+0。2=1、2(元)。因此破損只數(shù)是(400-379。6)÷(1+0。2)=17(只)。

　　答：這次搬運中破損了17只玻璃瓶。

　　請你想一想，這是“雞兔同籠”同一類型的問題嗎?

　　例6 有兩次自然測驗，第一次24道題，答對1題得5分，答錯(包含不答)1題倒扣1分；第二次15道題，答對1題8分，答錯或不答1題倒扣2分，小明兩次測驗共答對30道題，但第一次測驗得分比第二次測驗得分多10分，問小明兩次測驗各得多少分?

　　解一：如果小明第一次測驗24題全對，得5×24=120(分)。那么第二次只做對30-24=6(題)得分是：8×6-2×(15-6)=30(分)。 兩次相差：120-30=90(分)。

　　比題目中條件相差10分，多了80分。說明假設的第一次答對題數(shù)多了，要減少。第一次答對減少一題，少得5+1=6(分)，而第二次答對增加一題不但不倒扣2分，還可得8分，因此增加8+2=10分。兩者兩差數(shù)就可減少6+10=16(分)。(90-10)÷(6+10)=5(題)。

　　因此，第一次答對題數(shù)要比假設(全對)減少5題，也就是第一次答對19題，第二次答對：30-19=11(題)。

　　第一次得分：5×19-1×(24- 9)=90。

　　第二次得分：8×11-2×(15-11)=80。

　　答：第一次得90分，第二次得80分。

　　解二：答對30題，也就是兩次共答錯

　　24+15-30=9(題)。

　　第一次答錯一題，要從滿分中扣去5+1=6(分)，第二次答錯一題，要從滿分中扣去8+2=10(分)。答錯題互換一下，兩次得分要相差6+10=16(分)。

　　如果答錯9題都是第一次，要從滿分中扣去6×9。但兩次滿分都是120分。比題目中條件“第一次得分多10分”，要少了6×9+10。因此，第二次答錯題數(shù)是：(6×9+10)÷(6+10)=4(題)·

　　第一次答錯 9-4=5(題)。

　　第一次得分 5×(24-5)-1×5=90(分)。

　　第二次得分 8×(15-4)-2×4=80(分)。

 

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