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加法原理解決走樓梯問題|2017年浙江公務員行測指導
http://iofate.cn 2017-01-18 來源:浙江公務員考試網
在數量關系中,有一類排列組合問題被稱為“爬樓梯”問題。題目描述如下:有n階臺階,每次可以登a階或者b階,問要登上第n階臺階一共有多少種方法。這種題目,很多同學不明白其中的道理,遇到之后都無從下手,浙江公務員考試網(iofate.cn)就帶領大家來梳理此類問題的具體解法。
一、母題演示
12階臺階,每次可以登上1階或者2階,請問有多少種走法?
A.233 B.300 C.350 D.364
思考:從最后的爬樓梯狀態(tài)入手,要想登上第12階,我們可以從第11階登一步,也可以從第10階登兩步,均可以達到目的。也就是說,登上第12階的方法可以分成兩類,表示成S(12)=S(11)+S(10),其中S(12)為爬上12階的總方法,S(11)為爬上11階的總方法。同理S(11)=S(10)+S(9)。
以此類推,本題的解題遞推公式就是S(n)=S(n-1)+S(n-2)。接下來只需要通過枚舉法求出S(1)=1、S(2)=2即可。
下面對此類問題的解決方法進行總結:
①通過分析最后爬樓梯的狀態(tài),確定遞推公式;②通過枚舉求出前若干項;③通過畫表格求出答案。
二、舉一反三
例1:12階臺階,每次可以登上1階或者3階臺階,請問有多少種走法?
【解析】:第一步:分析最后的狀態(tài),可以分為從11階登一步上去,或者從第9階登三步上去兩大類,所以S(12)=S(11)+S(9),以此類推,S(n)=S(n-1)+S(n-3);
第二步:枚舉S(1)=1、S(2)=1,、S(3)=2;
第三步:畫表格求答案。
例2:12階臺階,每次可以登上1階或者2階或者3階臺階,請問有多少種走法?
【解析】:第一步:分析最后的狀態(tài),可以從11階登一步上去,或者從第10階登二步上去,還可以從第9階登3步上去,共計三類,所以S(12)=S(11)+S(10)+S(9),以此類推,S(n)=S(n-1)+S(n-2)+S(n-3);
第二步:枚舉S(1)=1、S(2)=2、S(3)=4;
第三步:畫表格求答案。
通過以上幾道題目,大家會發(fā)現,爬樓梯問題是加法原理的基本應用,所以只要我們明白了其中的道理,學會基本步驟,就可以快速解決這一類問題。
更多解題思路和解題技巧,可參看2017年公務員考試技巧手冊。
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